，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。

    所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。例如｛张三，李四｝这一集合的幂集就是｛｛｝｛张三｝，｛李四｝，｛张三，李四｝｝。

    两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。例如英语考试优秀的学生集A＝｛赵丽，王芳，陈凤｝，数学考试优秀的学生集B＝｛朱军，王铭，王芳｝。这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，这个集就是｛赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭｝。这个集称为A和B的并集。注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说明她是C的元素了。因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者相加后再减去共同的元素。文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二•三班的总人数。而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出8人了。集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素组成的集即｛王芳｝，D称为A和B的交集。

    以上是康托尔集合论的一些基本概念。康托尔的理论，特别是一一对应的方法造成的无穷中的悖论，与传统观念格格不入，难怪一开始康托尔就遭到那些坚持传统观念人士的强烈反对，说他的理论是“雾中之雾”，甚至有人骂他是疯子。当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”他有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。甚至不承认康托尔为他的学生。在这种情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去世。

    然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。因此越来越多的人开始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。大家认为，集合论确实是数学的基础。而且，由于集合论的建立，数学的“绝对严格性已经取得”。这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。

    这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。实际上在19世纪末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄地在利用。

    由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有n^2个，n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为n^2，显然n^2＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。

    据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没