动）。他们感到，自然界的一切规则都是和谐的；在他们看来，天体的运动，就是天体的和声。

    这些思想使毕达哥拉斯享有一位哲学先知的地位，简直可说是一位宗教领袖，他的信徒们组成了一个秘密的、也许是革命性的派别。很可能，毕达哥拉斯后来的信徒中有很多人是奴隶，他们相信灵魂转生，这大概是他们希望死后能过上更为幸福的生活的一种表现方式吧。

    我一直在谈论数字的语言——算术，但我的最后一个例子却是几何形状的天体。话题的改变并不是偶然的。展现在我们眼前的自然界形态万千：一道波纹，一个晶体，人的血肉之躯，而正是我们人类不得不去领悟和找出这中间的数的关系。毕达哥拉斯是将几何学与算术相结合的先驱，这刚好也是我所选择的一个数学分支，因此看一看毕达哥拉斯在这方面做了些什么，倒是很合适的。

    毕达哥拉斯在证明了音响世界是由精确的数支配的之后，又继续证明，视觉世界的情形也无不如此。这是一个非凡的成就。我看看自己的周围；我的确是在这里，在希腊神奇如画的风景中，在这蛮荒的大自然的万千形态中，在俄耳甫斯小山谷和大海之滨。在这美丽动人的浑沌中，哪里有那简单的数字结构呢？

    这个问题使我们不得不回顾人类关于自然法则的认识中那些最为原始而永恒的观念。很清楚，要很好地回答这个问题，我们必须从人类的普遍经验开始。人类的视觉世界建立在两种经验之上：重力线是垂直的，水平线与它成直角相交。而正是二者的相交，或我们所看到的这些十字标线确定了直角的性质；于是，如果我把这个凭经验认定的直角（向下、向两侧）转动四次，我就又回到了原先的垂直线与水平线相交的位置。直角的定义就是由这样的四次转动决定的，而且由此区别干其它任何一种角。

    在视觉世界中，在我们的眼睛所看到的垂直平面图上，如果一个角转动四次后又回到原来的位置这个角就可以定义为直角。在经验的水平世界里，即我们在其间活动的世界里，这一定义同样成立。试设想一个这样的世界，一个有平坦的大地的世界。还有地图。以及罗盘上的罗经点。从这里，我向正南方的萨摩斯与小亚细亚之间的海峡望去。我用一块三角形瓦块作指针，让它指向正南方。（我把这个指针做成直角三角形，是因为我要用它作四次直角边靠直角边的转动。）如果我把这个三角形瓦块转动一个90度，它就指向正西方。再转动一个90度，它就指向正北方。转动第三个90度，它就指向正东方。最后，转动第四个90度，它就又指向正南方了，即指向它开初所指的小亚细亚方向。

    不仅我们所体验的自然界，而且连同我们所建造的这个世界，都是建立在这样一种关系的基础之上的。自从巴比伦人建造空中花园（the hanging Garden）以来，也许更早一些，即从埃及人建造金字塔以来就是如此。从某种实践的意义上说，这些文化形态已经知道，有一种工匠使用的三角板，就是按照这种数的关系来构成直角的。早在公元前2000年，巴比伦人就知道很多、也许是几百个表示这种数的关系的公式。印度人和埃及人也知道一些这类公式。埃及人似乎总是使用一种其三角形边长比例为3：4：5的三角板。但是,，直到公元前550年前后，才由毕达哥拉斯把这一知识从经验数据的范畴上升到我们今天所说的论证的范畴。他提出了这样一个问题：“直角可以在转动四次后又回到原来的位置；那么，构成工匠们用的三角板各边之间的数的关系义是怎样从这一事实中得出来的呢？”

    我们认为，他的论证是这样的（与教科书中讲的论证方法不同），一个正方形的四个角，就是构成罗盘的十字交叉线的四个三角形的四个主方位——东南西北。我移动这四个直角三角形，使每个三角形