《数学原理》最初不很受欢迎。大陆上的数理哲学分为两派，形式主义者和直观主义者。这两派都完全否认数学是从逻辑出来的，并且利用矛盾来证明他们的否认是正当的。

    以希尔伯特为首的形式主义者主张，算术上的符号只是纸上的一些记号，全无意义，算术是由类乎下棋的规则的一些任意的规则而成，按照这些规则，可以把那些记号加以操作使用。这个学说有着避免一切哲学争论的有利条件，但它也有不能解释数字在计算中应用的不利条件。如果把○这个符号看做是指一百或一千或任何别的有限数，则形式主义者所提出的一切使用规则也就得到了证实。这个学说无法解释象“这间屋子里有三个人”或“有十二个使徒”这样一些简单的命题是什么意思。对于从事计算，这个学说是完全够用的，但是在数的应用上则是不够的。既然重要的是数的应用，形式主义者的这个学说不能不看做是一种不满人意的逃避。

    以伯劳威为首的直观主义者的学说须更认真地讨论一下。这个学说的核心是否定排中律。这个学说认为，如果有一个方法能确定一个命题是正确或错误，那个命题才能算是正确或错误。常见的例子之中有一个就是这样一个命题：“在π的小数计算中有三个连续的七”。就已经求出来的π的值来说，并没有三个连续的七，但是没有理由假定在后来的一个地方这就不会出现。如果今后看来果真有一个地方有三个连续的七出现，问题就解决了，但是，如果这样一个地方没有达到，那并不能证明后来不会有这样一个地方。所以，虽然我们也许完全能证明是有三个连续的七，我们却永远不能证明没有。这个问题对于分析是很重要的。不尽的小数有时候是按一条定律来进行，这条定律使我们能够随意计算多少项。

    但有时（我们必须这样假定）它们不按任何定律来进行。根据一般承认的原则，第二种情形比第一种情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承认“不法的”这样的小数，则整个实数学说就塌台了，并且微积分以及几乎整个高等数学也就随之瓦解。伯劳威面对这一灾难，毫不畏缩，但是大多数数学家认为是受不了的。

    这个问题的普遍性比上面那个数学例子所表现的要大得多。问题是：“如果没有方法来决定一个命题正确或错误，说这个命题正确或错误有没有任何意义？”或者用另一个方式来说：“‘真’和‘能证实’应该是一回事吗？”我认为我们不能说这是一回事，否则我们只得作一些粗劣而无理的悖论。请以下边这个命题为例：“公元一年的一月一日曼赫坦岛上下了雪”。我们想不出有什么法子能够看出这个命题是正确或错误，但是主张这个命题不正确也不错误，看来是荒谬的。关于这个问题我现在不想再说下去，因为我在《对意义与真理的探讨》的第二十和第二十一章中曾详细讨论过，关于《对意义与真理的探讨》一书我在本书的后边一章还要讲到。同时，我想直观主义者的学说是不能不加以拒斥的。

    直观主义者和形式主义者都是从外面来攻击《数学原理》的学说，而击退他们的攻击好象并不十分困难。维根斯坦及其学派的批评就另是一回事了。这些批评是来自里面，十分值得尊重。

    维根斯坦对我有过深远的影响。我渐渐觉得，在很多点上我和他的意见相合是过了分。可是我不能不先解释一下争论之点是什么。

    维根斯坦对于我的影响是分两起来的：第一篇是在第一次大战之前；第二篇是大战一完他就把他的《逻辑哲学论》的原稿寄给我。他后来的学说，在他的《哲学研究》中所讲的，丝毫没有影响我。

    在一九一四年之初，维根斯坦给了我一篇用打字机打好的短文章，里边是一些论各种逻辑问题的笔记。这篇文章，和多次的谈话，影响了我在战时那几年的思想。战时他在奥国的军队里，因此