在已经变成一种公认的逻辑上的平凡的东西了。

    这就消除了维根斯坦的神秘主义，并且，我想，也解决了哥德尔所提出的新的谜。

    其次我讲一讲维根斯坦关于同一的说法。他这种说法的重要性也许不是一时就看得出来的。要解释这个学说，我不能不先把《数学原理》里关于同一的定义说一说。在一件事物的性质中，怀特海和我判别出一些来，我们称之为“叙述的”。这是和总的性质无关的一些性质。例如，你可以说，“拿破仑是科西加岛人”，或者“拿破仑胖”。这样说的时候，你并不是指集合起来的性质。可是如果你说“拿破仑具有大将的众长”，或者“伊丽沙白女王第一兼具她父亲和祖父的诸种德性，而没有他们的毛病”，你是指总的性质。我们把这样涉及到总体的性质和叙述的作用加以区分，是为避免一些矛盾。

    我们把“ｘ和ｙ是等同的”的定义说成是指“ｙ具有ｘ的所有的叙述的性质”，并且，在我们的系统里，必然的结果是，ｙ具有ｘ所具有的任何性质，不管是叙述的，还是不是叙述的。对于这一点维根斯坦所持的异议如下：“罗素对于“＝”所下的定义是不行的；因为按照这一个定义来讲，我们不能说两件事物所有的性质都为它们所共有。（即使这个命题一点也不正确，却是含有意思的。）“大体上说：说两件东西等同，是没有意义的，说一件东西和其本身等同，等于没有说”（《逻辑哲学论》，５．５３０２和５．５３０３）。有一个时候，我接受了这个批评，可是我不久就得到了这样一个结论：他的批评使数理逻辑无法成立，并且事实上维根斯坦的批评是无效的。如果我们考虑到计算，这就格外明显了：如果ａ和ｂ的一切性质都为它们所共有，你就永远不能提到ａ而不提到ｂ，或数到ａ而不同时数到ｂ，不是把ｂ当作单独的一项来数，而是在同一数的动作中来数。所以你就决没有可能发现ａ和ｂ是两个。维根斯坦的主张是假定不同是一种难以明确的关系，虽然我并不认为他知道他是做此假定。可是如果他不做此假定，我就看不出有什么理由能象他所说：说两件事物的一切性质都为他们所共有，是有意义的。可是如果承认不同是有的，那么，如果ａ和ｂ是两个，ａ就有一种为ｂ所没有的性质，那就是，与ｂ不同那么一种性质。所以，我想维根斯坦关于同一的那种主张是错误的。

    果真如此，那就使他的系统的大部分归于无效。

    请以２这个数的定义为例。我们说一个类有两项，如果这个类有ｘ和ｙ两项，并且ｘ和ｙ并不等同，并且，如果ｚ是这个类的一项，则ｚ和ｘ或ｙ等同。很难使这个定义和维根斯坦的主张相调适，他的主张是要求：我们决不应该用辞句来表示“ｘ＝ｙ”或“ｘDｙ”这个式子，而是应该用不同的字母来代表不同的东西，并且决不应该用两个不同的字母来代表同一个东西。除了这种专门技术上的困难之外，显然，由于上面所讲的理由，如果两件东西的一切性质都为二者所共有，则这两件东西就不能算做两个，因为算做两个就不能不把它们区别开，因此也就给了它们以不同的性质。

    还有一个结果，就是，我们不能制造一个为某一组列举的物件所共有和特有的内包。

    举例来说，假定我们有ａ、ｂ、ｃ三个物件，那么，和ａ等同、和ｂ等同、和ｃ等同的那个性质就是一个为这三个物件所共有和特有的性质。但是，在维根斯坦的系统中，这个方法是不合用的。

    还有一点，是非常重要的，就是，维根斯坦对关于世界上一切物的任何陈述都不认可。在《数学原理》里，万物总体的定义是所有那些ｘ们的类，它们是ｘ＝ｘ那样的ｘ们，并且我们可以给这个类指定一个数，（正如可以给任何别的类指定一个数），虽然我们当然不知道用来指定的那个正确的数是什么。维根斯坦对此不予