作为直边三角形，它的面积为1/2LR（其中L为AB的长，R为圆的半径和三角形的高），而由于它又是曲边三角形，它的无穷累积就是圆。因而，圆的面积S：

    S=1/2（L1R＋L2R＋…＋LnR）=1/2R（L1＋L2＋…＋Ln）＝1/2R（2πR）=πR^2

    （L1＋L2＋…＋Ln为圆的周长）。

    又如，费尔玛也曾用无穷小量分析解决过求非匀速运动物体的速度问题。他的方法是这样的：（l）截取一时间间隔△t，并求出这一时间间隔物体所通过的距离△s；（2）求出△s，显然，这是物体在此时间间隔内的平均速度；（3）令△t=0，这时，我们所截取的时间间隔就是无穷小量dt，因此，这时所获取的速度就是物体在这一时刻的瞬时速度。

    由于微积分理论的研究对象是非均匀变化（如非匀速运动、曲线形），因此，这里的主要问题就是如何把非均匀变化转化为已解决的均匀变化来研究，即“变非匀速运动为匀速运动”，“化曲为直”。而无穷小量由于其本身的特性恰好为这种转化实现提供了条件。因此，无穷小量分析在严格的极限理论建立以前一直是微积分理论中的主要方法。

    但是，作为其基础的无穷小量分析却包含有逻辑矛盾。具体而言就是：在无穷小量的实际应用中，它必须既是0又不是0；但从形式逻辑的角度来看，这无疑是违反不矛盾律的。例如，就圆的求面积而言，如果认定无穷小量AB为0，那么，无穷小三角形OAB就根本无面积可言（这时根本不存在三角形）；而如果认定AB不为0，那么，无穷小三角形仍然是曲边三角形，从而，也就不能用计算直角三角形的方法来计算它的面积。又如，就非匀速运动的问题而言，如果认定无穷小量dt为0，那么，ds就是O，而按数学的传统法则，这是无意义的。事实上，这时也没有任何运动发生。而如果不把dt看作0，那么，所求出的ds就仍然是一段时间内的平均速度，而不是瞬时速度。由于无穷小量分析中包含有这样的矛盾，而牛顿、莱布尼兹在建立微积分时也没有在理论上解决这个问题，这就使得无穷小量必然会首当其冲地成为不少人攻击的对象。在反对无穷小量分析的人士中，最激烈的要算爱尔兰克罗因地区的主教乔治•贝克莱。他认为，无穷小量只是一些数学家臆想的产物，是抽象的、虚无缥缈的主观猜测。他把无穷小量讽刺为“逝去了的量的幽灵”贝克莱的目的虽然是企图否定无穷小量，但通过这种指责可以看出，他在此问题上的确是个“行家”，他确实有效地揭示了无穷小量分析中所包含的逻辑矛盾。由于当时人们确信建立在无穷小量分析之上的微积分理论的正确性，因而，由此引起的矛盾就被认为是悖论，世称“贝克莱悖论”。

    由于贝克莱的攻击切中了要害，因此，贝克莱悖论的发现动摇了数学的基础，在当时的数学界引起了一定的混乱，人们把它称之为“第二次数学危机”。

    实际上，这并不是整个数学的危机，而是无穷小量分析方法的危机。第二次数学危机后，一些数学家致力于解决这一矛盾。通过近半个世纪的努力，人们发展了极限理论，从而为微积分理论建立了可靠的基础，克服了危机，解决了悖论。

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