什么样的数算大数呢？当然，这是一个相对的问题。有这样一个故事：两个贵族想做数数的游戏——谁说出的数字大谁赢。“好，”一个贵族说，“你先说吧！”另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3。”现在该轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他无可奈何地说：“你赢啦！”

    两个贵族的智商显然是非常的低，这很可能只是一个挖苦贵族们的故事。但是，如果是发生在原始部落中，这故事大概就完全可信了。现已证实，在某些原始部落中，没有比3大的数词。如果问他们有几个儿子或杀死过多少猎物，那么，要是这个数字大于3，他就会回答说：“很多个。”看来，他们的计数水平还不如一些幼儿园的娃娃呢！

    有时候，看似不大的数却出乎意料的大，古印度的舍汉王就曾经吃过亏。据传说，舍汉王打算重赏国际象棋的发明和进贡者、宰相达希尔。这位聪明大臣的要求看来并不高，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格内放1粒麦子，第2个小格内放2粒，第3格内放4粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下把这样摆满棋盘上的所有64格的麦粒都赏给您的仆人就行啦！”

    “你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这种奇妙的发明不用花费太多而暗喜，“你会如愿以偿的。”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座前。

    计数麦粒的工作开始了，第1格内放1粒，第2格内放2粒，第三格放4粒还没放到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格一格增长得如此迅速，很快就可看出，即使拿来全印度的粮食也兑现不了国王的诺言，因为这需要18,446,744,073,709,551,615颗麦粒。1升麦子约137,560颗，照此计算，那就要给达希1136亿升。这位宰相要求的竟是全世界在2年内生产的全部小麦！

    这样，舍汉王发现自己欠了达希尔好大一笔债，要么忍受他没完没了的讨债，要么砍掉他的脑袋，当然，舍汉王选择了后者。

    达希尔所要求的麦子粒数虽然大得令人难以置信，但毕竟是有限的，就是说，只要有足够的时间，人们总能把它从头到尾写出来。然而，还有一些比我们所能写出的无论多长的数还要大的数，即无穷大的数，如“所有自然数（正整数）的个数”、“一条线上所有几何点的个数”。这些数是随着数学的发展必然被人们发现的。第一次数学危机促使严格的实数（包括有理数和无理数）理论的建立，第二次数学危机则使极限理论成为微积分的主要工具。极限理论也是以实数理论为基础的，而实数的数目就是无穷的。对于无穷大的数，除了说它们无穷大之外还能说些什么呢？这些数能否进行比较？“所有有理自然数的个数和一条线上所有几何点的个数哪一个大些？”这一问题乍一看真是不可思议，但著名的数学家康托尔首先思考了这一问题，并指出二者是不一样大的。然而，我们又会面临这样一个问题：这些既不能读出来，也无法写出来，该怎样进行比较呢？这下我们有点儿像一个既不清楚自己的汽车有多少座位，又不了解有多少个乘客，但却想知道座位够不够坐的司机了。既然他什么也不清楚，他会不会放弃原来的打算呢？根本不会。如果他足够聪明（而且通常的办法也是如此），他就会通过把座位和乘客逐个相比的办法来得出答案。他让第一位乘客坐在第一个座位上，第二位乘客坐在第二个座位上……这样一直相比下去。如果最后座位用光了，还剩下些乘客，他就知道乘客多于座位；如果乘客都坐下了，座位还有多余，他就会明白座位多于乘客；如果乘客都坐下了，座位也正好用完，他就会晓得，乘客和座位数目相等。

    康托尔所提出的比较两个