一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。初二•三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。

    关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。

    集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。例如“中华人民共和国的直辖市”、“星期二数学课迟到的人”、“张三穿过的鞋”等都是集合。物以类聚，人以群分，同类的人或事物总有共同的特点或性质，根据这种特点或性质就可以决定一个类，这个类就是集合。任何人或事物总是处于不同的集合中，甚至你自己也会是一些集合内的成员，如你的家庭、你上学的班、你参加的校外活动小组等。生活中我们有时也用其他的词如群、套、队、族、类、班等等来表示集合。

    集合可以是一组数字、一群人、一些图形、一类概念。构成一个集合的东西均属于这个集合，属于这个集合的个体称为集合的元素，比如“小于7的奇数”就是一个集合，构成这个集合的1、3、5就是这个集合的元素。“中学课本”也是一个集合，组成此集合的物理课本、化学课本、英语课本等是这个集合的元素。给出一个集合，就规定了这个集合是由哪些元素组成的。显然，对于任何事物来说，它要么属于一个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。如1和3属于“小于7的奇数”这一集合，而6和8则不属于这个集合。

    “小于7的奇数”这一集合由元素1、3、5组成，人们通常把这种说法用符号表示，记作：｛1，3，5｝，花括号｛｝示集合的元素的组成，一般用英语大写字母表示集合，如A＝｛1，3，5｝。这种表示集合的方法称为列举法。而“小于7的奇数”是通过描述集合元素的共同性质的方法来表示这个集合的，因此这种方法又称为描述法或特征法。这两种表示法是可以互换的。

    一般地，如果集合由有穷个元素组成，且这些元素又知道得清清楚楚，那么最简便的方法就是列举法，如“中国的直辖市”可表示为｛北京，天津，上海｝”而如果元素为无穷多个，或者即使为有穷多个，但其元素太多，那么一般使用描述法，如“济南市的居民”、“大于9的奇数”。有时描述法也可这样表示：A=｛X｜X是济南的居民｝，B=｛X｜X是大于9的奇数｝。

    在算术中我们常比较一些数，找出其中哪一个数较大。集合也可以进行比较，而比较的方法之一就是把一个集合的元素与另一个集合的元素进行比较。集合｛1，3，5，7｝与集合｛2，4，6，8｝不同，因为二者的元素不同。而集合A＝｛a，b，c｝与集合B＝｛c，b，a｝则是相同的，这是因为这两个集合有着相同的元素，这时我们记作A＝B。至于元素排列的次序是否一样，倒是没有关系的，只要两个集合具有相同的元素，它们就是相等的。

    集合之间还可以采用一一对应的方法进行比较。古时有一人遭诬陷后被关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在这里呆了