，分析了它的结构，并且发现确实有这样一组声音，如果它在唱机附近作响，就可以使唱机振荡，乃至于碎裂。

    阿：你这个恶毒的家伙！不用细说我就明白了。你录下的真是这组声音，还假惺惺地把它当作礼物去送给蟹。

    龟：你倒是够机灵的。不过事情并未就此了结。蟹并不相信他的唱机是有缺陷的，于是，他又买了一台更加昂贵的唱机。店主则向他许诺，如果他能发现一组在这台唱机上无法演奏的声音，我就包赔两倍的钱。于是，蟹兴致勃勃地来找我，而我也带着极大的兴趣去观看。

    阿：我敢打赌，你一定又按照新唱机的结构炮制了一张新的唱片：“我不能在唱机2上演奏。”

    龟：你的反应很快，你完全领会了问题的精神实质。当然，完全可以料想到，这台唱机又被震得粉身碎骨了。

    阿：我倒有一个主意。他可以买一台低保真度的唱机，这样就不会重演使自己毁灭的那组声音了。

    龟：可是，这样一来就违背了原来的宗旨——可以演奏任何声音。

    阿：我现在明白问题的两难性究竟在哪里了。这就是说，任何唱机其实都是有缺陷的。

    龟：我不明白你为什么要把这叫做缺陷。问题的实质在于，你要唱机去做它根本办不到的事情。不过，我的朋友蟹并不死心，他又自己设计了一台“奥米枷唱机”。这种唱机带有一架电视摄像机，能在唱片演奏之前先把它审视一番。它和微型计算机连接在一起，可以立即判定这组声音对于唱机所产生的效果。如果唱机会受到破坏，它就可以通过一个内部装置将唱机的各部分重新组装，从而改变它的内部结构再来演奏唱片。

    阿：这下好了，你也没有办法了吧？

    龟：瞧你这副得意的劲儿，如果你懂得哥德尔定理就不会这样得意了。

    哥德尔定理是说：（1）如果系统是无矛盾的，那么，此系统是不完备的，即其中必有一个命题，其真假不可判定；反之，如果它是完备的，那么，它必然包含矛盾。（2）这样的系统自己不能证明自己无矛盾，除非它自己是矛盾的。

    哥德尔通过建造一个类似说谎者悖论的命题证明的：“本命题在此系统中不可证”（G）。假如这个命题G在系统中可证，则证明了它“不可证”，矛盾。因此，假设不成立，G在系统中不可证。而G是说它在系统中不可证，故G真，这样，就证明了在系统中有一个真命题不可证。用上面的例子说，就是任何唱机都不可能完备，它总有不能演奏的唱片。所以，蟹通过摄像机审视后不断调整唱机结构的方法是行不通的，因为乌龟总可以设计出一种它不能演奏的唱片。哥德尔定理的发现标志着希尔伯特方案的破产。

    论战中的另一方是以布劳威尔为代表的直觉主义学派。直觉主义学派认为，数学的基础和出发点是自然数的理论，而自然数则是由人的原始直觉（按时间顺序出现的感觉）构造出来的。数学理论可靠性的唯一标准就是心智上的可构造性。他们有一句名言：“存在必须等于被构造。”

    由此，他们反对“实无穷”，而支持“潜无穷”的观点。所谓“潜无穷”，就是把无穷看成一个不断创造着的又永远无法完成的过程，例如，把自然数看成一个无限延伸的序列1，2，3，…，而不是一个已经完成的集合｛1，2，3，…｝。他们进一步认为，实无穷的观念是集合论中产生悖论的根源。按照直觉主义的观点，要判定一个命题A为真，就必须给出A的构造性证明。要判定一个否定命题非A为真，就必须有一个构造，这一构造将任何一个假定原命题A为真的构造导致谬误，例如推出一对矛盾的命题B和非B。在经典逻辑和经典数学中，人们经常使用间接证明的方法：欲证一个命题为A真，不是直接去证明，而是先假定A不真