凡是一种大规模的，故意有计划地造成而后来又普遍地被称许的迷误，既可以涉及生活也可以涉及科学；大致总可以在当时有权威的哲学中找到他的根据。最早是厄利亚学派发现了直观中的事物和思维中的事物两者间的区别，更常发现两者间的冲突，并且在他们的哲学警句中，诡辩中广泛地利用过这种区别。继厄利亚学派，往后有麦珈利学派，辩证学派，诡辩派，新学院派和怀疑论者；他们指出要注意的是假象，也就是感官的迷误，或者更可说是悟性的迷误。悟性把感官的材料变为直观，常使我们看见一些事物，其非真实是理性一望而知的；例如水影中显为破折的直杆等等。人们已知道感性的直观不是绝对可靠的，就作出了过早的结论，以为只有理性的，逻辑的思维才能建立真理；其实柏拉图（在《巴门尼德斯》），麦珈利学派，毕隆（Pyrrhon）和新学院溅已在一些例子（如后来塞克司都斯、恩比瑞古靳所用的那类例子）中指出在另一方面，推论和概念也导致错误，甚至造成背理的推论和诡辩，说这些东西比感性直观中的假象更容易产生，却更难于解释。那时，与经验主义对立而产生的唯理主义占着上风，欧几里德就是遵循唯理主义来处理数学的，所以他只将公理，无可奈何地，建立于直观证明上，其他一切则建立在推论上。在[过去的]一切世纪中，他的方法一直是有权威的；并且一天不把先验的纯粹直观从经验的直观区别开来，这种情况也必然会延续下去。虽有欧几里德的注释家普洛克罗斯似乎已经看到这种区别，譬如克卜勒在他那部《世界的谐律》中译成拉丁文的一段，就是这位注释家的原作在这方面的表现；不过普洛克罗斯不够重视这件事，他是把它孤立地提出来的，他未被人注意，自己也没有贯彻到底。所以直到两千年以后，康德的学说既命定要在欧洲各民族的知识、思想、行为上产生这样重大的变化，才会在数学领域里促成同样的变化。因为只有我们从这位伟大哲人那里懂得空间和时间的直观完全不同于经验的直观，完全无待于一切感官上的印象，决定感官而不为感官所决定，即是说空间和时间的直观是先验的，从而也是根本不容感官的迷误入侵的；只有学得了这些，然后我们才能理解欧几里德在数学上使用的逻辑方法只是多余的谨慎，有如健全的腿上再加拐杖似的；有如行人在夜间把白色的干路当作水，唯恐踏入水中，宁可在路边高一步，低一步，走过一段又一段，还自以为得计没有碰到这原不存在的水。直到现在，我们才能有确实把握说：在我们直接观察一个几何图形时，那必然是显现于我们之前的，既不来自划在纸上不很精确的图形，也不来自我们边看边设想的抽象概念。而是来自我们意识中一切先验的认识的形式。这形式，无论在什么地方，都是根据律；在这里、作为直观的形式，也即是空间，则是存在的根据律。存在根据律的自明性、妥当性，和认识根据律的自明性、妥当性，亦即是和逻辑的真确性，是同样大小，同样直接的。所以我们不用，也不可为了单独相信后者，就离开数学自有的领域而在二个和数学不相干的领域，概念的领域里求取数学的证明。如果我们坚守数学自有的园地，我们便可获得一个[很]大的优点，就是在数学中所知道的“有这么回事”与其“何以如此”现在成为一件事了，而不再是欧几里德把它完全割裂为两事，只许知道前者，不许知道后者的办法了。其实，亚里士多德在《后分析篇》第一篇第27节中说得非常中肯：“同时告诉我们‘有一事物’及其‘何以如此’的知识比分别讲述事物之有及其所以然的知识要准确些，优越些。”在物理学中我们要得到满足，只有事物之如此与其何以如此两种知识统一起来，才有可能。单是知道托瑞切利管中的水银柱高过二十八英寸，如果不同时知道其所以如此是由于空气的压力，那是一种不够的知识。然则在数学园里的隐秘属性，譬如[知道]