圆形中两两交叉的弦的线段总是构成同样的矩形，就能满足我们吗？这里的“是如此”，欧几里德固然已在第三卷第三十五条定理中证明了，但是“何以如此”仍然没有交代。同样，毕达戈拉斯定理也告诉了我们直角三角形的一种隐秘属性。欧几里德那矫揉造作，挖空心思的证明，一到“何以如此”就避不见面了，而下列简单的，已经熟知的图形，一眼看去，就比他那个证明强得多。这图形让我们有透入这事的理解，使我们从内心坚定地理解[上述]那种必然性，理解[上述] 那种属住对于直角的依赖性：在勾股两边不相等的时候，要解决问题当然也可以从这种直观的理解着手。根本可说任何可能的几何学真理都应该这样，单是因为每次发现这样的真理都是从这种直观的必然性出发的，而证明却是事后想出来追加上去的，就应该这样。所以人们只须分析一下在当初找出一条几何学真理时的思维过程，就能直观地认识其必然性。我希望数学的讲授根本就用分析的方法，而不采取欧几里德使用的综合方法。对于复杂的数学真理，分析方法诚然有很大的困难，然而并不是不可克服的困难。在德国已经一再有人发起改变数学讲授的方式并主张多采取这种分析的途径。在这方面表现得最坚定的是诺德豪森文科中学的数学、物理教员戈萨克先生，因为他在一八五二年四月六日学校考试的提纲后面，还附加了一个详细的说明，[内容是]如何试用我的原则来处理几何学。

    为了改善数学的方法，首先就要求人们放弃这样一种成见，这种成见以为经过证明的真理有什么地方胜似直观认识的真理，或是以为逻辑的，以矛盾律为根据的真理胜似形而上的真理；[其实]后者是直接自明的，而空间的纯直观也是属于[自明的]真理之内的。

    最真确而又怎么也不能加以说明的便是根据律的内容。因为根据律，在其各别的形态中，原意味着我们所有一切表象和“认识”的普遍形式。一切说明都是还原到根据律，都是在个别情况中指出表象与表象之间的关联，这些关联根本就是由根据律表述出来的。因此，根据律才是一切说明[所根据]的原则，从而它自身就不能再加以说明，也不需要一个说听。每一说明都要先假定它，只有通过它才具有意义。但是在它的各个形态之间，并无优劣之分；作为存在的根据律、或是变易的根据律、或是行为的根据律、或是认识的根据律，它都是同等的真确，同样的不可证明。在它的各个形态中，根据和后果的关系都是一个必然的关系；这个关系根本就是“必然性”这概念的最高源泉，也就是这个概念的唯一意义。如果已经有了根据，那么，除了后果的必然性之外，就再没有什么必然性了，并且也没有一种根据不导致后果的必然性。所以，从前提中已有的认识根据引出在结论中道出来的后果，和空间上的存在根据决定其空间上的后果是同样的确实可靠。如果我直观地认识了这空间上的存在根据及其后果的关系，那么，这种真确性和逻辑的真确性是同等的。而每一个几何学定理就是这种关系的表出，和十二公理中任何一条都是同样真确的。这种表出是一个形而上的真理，作为这样的真理，它和矛盾津自身是同样直接真确的。矛盾律是一个超逻辑的真理，也是一切逻辑求证的普遍基础。谁要是否认几何定理表出的空间关系在直观中所昭示的必然性，他就可以以同等权利否认那些公理，否认从前提中推论出来的结果，甚至可以否认矛盾津自身；因为所有这些都同样是不得而证明的，直接自明的，可以先验认识的一些关系。所以，空间的关系本有可以直接认识到的必然性，然而人们都要通过一条逻辑的证明从矛盾律来引伸这必然性；这就不是别的，而是好象自有土地的领主却要另外一位领主把这土地佃给他似的。可是这就是欧几里德所做的。他只是被迫无可奈何才让他那些公理立足于直接的证据之上，在此以后所