有的几何学真理都要经过逻辑的证明，即是说都要以那些公理为前提而从公理和定理的符合中作出的假定，或前面已有的定理来证明，或是从定理的反面对于假定的矛盾，对于公理的矛盾，对于前面定理的矛盾，甚至是对于定理自身的矛盾来证明。不过公理本身也不比其他任何几何定理有更多的直接证据，只是由于内容贫乏一些，所以更简单一此罢了。

    当人们审问一个犯人时，人们总是把他的口供记录下来，以便从口供的前后一致来判断口供的真实性。但是这不过是一个不得已的措施；如果人们能够直接研究每一句口供的真实性，那就不会这样做了，因为这个犯人还可从头至尾自圆其说地撤谎。可是[单凭口供的前后一致，] 这就是欧几里德按以研究空间的方法。他虽是从[下面] 这个正确的前提出发的，即是说大自然既无处不是一致的，那么在它的基本形式中，在空间中也必须是一致的；并且由于空间的各部分既在互为根据与后果的关系中，所以没有一个空间的规定能够在它原来的样儿之外又是另外一个样儿而不和其他一切的规定相矛盾。但是这是一条繁重的，难以令人满意的弯路，这条弯路以为间接的认识比同样真确的直接认识更为可取；它又割裂了“有此事物”与“何以有此事物”的认识而大不利于科学。最后它还完全遮断了初学者对于空间规律的理解，甚至于不使他习惯于真正的探求根据，探求事物的内部联系；却反而诱导他以“事物是如此”这种历史往的知识为己足。人们经常称道这种方法可以锻炼辨别力，其实不过是学生们为了记住所有那些资料要在记忆上多费劲而已，[因为] 这些资料间的一致性是要加以比较的。

    此外还有值得注意的是这种求证方法只用在几何学上而不用在算术上。在算术中，人们倒真是只用直观来阐明真理，而直观在这里就是单纯的计数。因为数的直观只在时间中，所以不能和几何学一样用感性的图形来表出，这就去掉了一个顾虑，[不必顾虑] 直观只是经验的，从而难免为假象所惑了。原来能够把逻辑的求证方式带进几何学里来的也只是这一顾虑。因为时间只有一进向，所以计数是唯一的算术运算，.其他一切运算都要还原到这一运算。这计数并不是别的，而是先验的直观。人们在这里可以毫不犹豫地援用这直观；只是由于这直观，其他一切，每一演算，每一等式最后才得以证实。譬如人们并不去证明，而是援用时间中的纯粹直观，援用计数，这就把每一个别的命题都变成公理了。因此算术和代数的全部内容不是充满了几何学的那些证明，而只是简化计数的一种方法罢了。我们在时间上所得到的数的直观，已如前述，大抵只到“十”为止，不能再多；过此以上就必需有一个“数”的抽象概念，固定于一个词儿中的概念，起而代替直观。因此就再没有真正完满地作到这直观，而不过是完全确切地加以标明罢了。就以这种情况说，由于数的自然秩序这个重要辅助工具，还是可以用同样的小数字来代替较大的数字[而价值不变]，依然可以使任何一个演算都有直观的明显性。甚至于在人们高度利用抽象作用时也是这样；在抽象中思维的不仅是数，而且有不定的量或整个演算过程，这些都可在这种意义之下用符号标记出来，譬如；这样，人们就不再进行演算，只仅仅示意而已。

    和在算术中一样，人们也可以在几何学中以同样的权利，用同样的妥当性仅仅只以先验的纯粹直观作为真理的根据。事实上，赋予几何学以较大自明性的也总是这按存在根据律而直观地认识到的必然性。几何学的定理在每人意识中的真确性就是建立在这种自明的根据上的，而决不是建立在矫揉造作的逻辑证明上的。逻辑证明总是于事太疏远，大多是不久就被遗忘了；不过遗忘了也并无损于[人的] 确信。就是完全没有逻辑证明也不会减少几何学的自明之理，这是因为几何学的