从很多方面看，数学都是最精确、最复杂的一门科学——至少，作为一位数学家，我是这样认为的。对数学的发展的描述，使我既局促不安，又特别高兴，因为数学历来都是人类无穷思索的一部分：在人类知识的上升历程中，数学是通向神奇而又理智的思维的阶梯。不过，任何有关数学的描述，似乎都应包括以下这些概念：论证的逻辑性概念，关于自然界（特别是关于空间）确凿规律的经验性概念，各种运算概念的形成，以及数学从对自然的静态描述到动态描述的发展。这些便是本章的主题。

    即便是非常原始的民族也有某种数字体系；他们也许不会数到四以上，但他们知道，任何东西中的两个加上同一种东西的另外两个，不是有时而是永远等于四。从这一基本点出发，许多文化形态都建立了自己的数字体系，通常是一种规则大致相近的书面语言。例如。

    尽管巴比伦人、玛雅人，印度人生活的时间和空间相去甚远，但他们却创造了基本相同的书写大数字的方法，即把大数字写成我们今天使用的位数序列。

    因此，在历史上，没有哪个地点和哪个时刻，可以让我站在那里说：“算术开始于此时此地。”在每一种文化中，人们从学会互相交谈的时候起，便开始计数了。算术和语言一样，始于传说时代。可是，我理解的用数字进行推论的数学则是另一回事。正是为了在传说与历史的交接点上寻求数学的起源，我才乘船来到萨摩斯岛（samos）。

    传说时代，萨摩斯岛是希腊人祭祀天后赫拉（es）手中。

    据传说，毕达哥拉斯在逃离萨摩斯之前，曾在岛上山中一个白石岩洞里传道授业，这个岩洞至今仍是那些相信这一传说的人们参拜的地方。

    萨摩斯是一个神奇迷人的岛屿。大海的涛声，树林的低语，音乐的奏鸣，随处可闻。虽然别的希腊岛屿也可作为莎士比亚名剧《暴风雨》（tempest）的外景，但在我看来，萨摩斯才是普洛斯彼罗（Prospero）住过的那种岛屿，正是在这样的海岸上，这位学者变成了魔法师。毕达哥拉斯对他的门徒来说，大概也可算是一位魔法师吧，因为他教导他们，自然界是受数字支配的。他说，大自然是和谐的，在她的千变万化中有一种统一性，大自然也有自己的语言：数便是大自然的语言。

    毕达哥拉斯发现，在音乐的和声和数学之间，有着一种基本的联系。有关他这一发现的故事，正像民间传说一样，是经过窜改后留传下来的。但他的发现却是千真万确的。一根绷紧的琴弦在整个儿震颤时产生出一个基音。把琴弦精确地划分为几等份，就会产生与这个基音和谐一致的音：可以把弦的长度准确地分为两等份、三等份、四等份，如此等等，如果琴弦的静止点，即所谓波节（node），没有落在等分点上，奏出的音就会走调。当我们在琴弦上移动波节时，如果移动到确定的等分点上，我们就会听到和谐悦耳的音调。拨一拨或拉一拉空弦：这就是基音。将波节移至弦的中心点：这就是高出基音八度的音。将波节移至弦的1/3处：这就是高出基音的第五度音。将波节移至1/4处：这就是高出基音的第四度音。如果将波节移至琴弦的1/5处（毕达哥拉斯没有做到），这就是大调第三度音。

    毕达哥拉斯发现，悦耳动听——悦西方人之耳——的和声，与用整数对琴弦的划分相对应。对毕达哥拉斯学派来说，这一发现有某种神奇的力量。自然与数之间的这种和谐一致竟是如此具有说服力，以致他们完全相信，不仅自然界的各种声音，就连自然界所特有的各种维和度，都肯定是一些能表现这种和谐的简单数，例如、毕达哥拉斯本人或他的追随者们相信，把各个天体与各种音程联系起来，就可以计算出这些天体的轨道（希腊人把这些天体描绘为在水晶般透明的天空中绕地球运