值，因此“ｘ是一个人”是能成立的。经院哲学家有一句格言，意思是说，一和存在是同义语。这句格言只要大家信以为真，就没有法子把１的意义弄明确。事实的真相是，存在是一个没有用处的字。而且，误用这个字的人应用这个字所应用到的那种事物既可以是一，也往往可以是多。?一不是事物的一个特征，而是某些命题函项的一个特征，就是说，有以下这种特性的那些命题函项：有一个ｘ使这个函项为真，而且这个ｘ是这样，如果ｙ使这个函项为真，ｙ就和ｘ是同一的。这是一元函数的定义。１这个数目是一元的特性，这种特性是为某些函数所具有的。同样，零函数是一个对于ｘ的所有的值来说都是错误的函数，成为一个零函数，其特性是０。

    关于数的那些旧的学说，到０和１以上，总是遇到困难。

    最初使我得到很深的印象的是皮亚诺对付这些困难的本领。

    但是须待很多年之后我才得到这个新观点的全部结论。在数学中想出“类”来是方便的。有一个长的时期，我以为把类和命题函项加以区别是必须的。可是，我最后得到的结论是，除非是一种技术上的手段，这种区别是不必要的。“命题函项”这种话听起来也许可怕，却无怕的必要。有很多时候我们可以用“特性”这个字来代替。所以我们可以说，每个数是某些特性的一种特性。但是，除了做最后的分析，继续用“类”这个字也许更容易一些。

    以上所说的理由使我得出来的关于数的定义，弗雷格已先于我十六年就得出来了。

    但是关于这一点，我是在我重新发现这个定义大约一年以后才知道的。我对于２所下的定义是一切双的类，３是一切三个一组的类，等等。一双的定义是一个类，这个类有ｘ项和ｙ项，ｘ和ｙ不等同，并且，如果ｚ是这一个类的一项，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般说来，一个数就是一组的类，这一组类有一种特性，这种特性叫做“相似”。

    这可以有如下的界说：如果有一种方法把两个类的项一对一地配合起来，这两个类就是相似。举例来说，在一个一夫一妻制的国家里，你可以知道结了婚的男人的数目是和结了婚的女子的数目相同，用不着知道二者究竟有多少（我是把寡妇和鳏夫除外）。

    还有，如果一个人没有残缺一条腿，你大概可以确实知道他右脚鞋的数目和他左脚鞋的数目是一样的。

    在一次聚会中，如果每人都有一把椅子坐，并且没有空着的椅子，那么椅子的数目就必是和坐椅子的人的数目是一样的。

    在这些例子中，一类里的那些项和另一类里的那些项之间有所谓一对一的关系。相似正是这种一对一关系的存在的定义。

    任何类的数可以说就是所有与它相似的那些类。

    这个定义有多方面的长处。它能应付所有从前关于０和１所发生的问题。０就是没有项的那些类的类，也就是说，它是一个类，其唯一的项是一个没有项的类。１是一些类的类，那些类的特性是，它们是由与一个ｘ项相等的任何东西而成的。这个定义的第二个长处是，它克服了关于一和多的困难。

    因为所计算的项是按一个命题函项的实例来计算的，所含的一只是命题函项的一。

    这个命题函项的一决不和实例的多相抵触。但是比这两个长处更重要的是，我们就不把数当做形而上学上的实体了。事实上，数就只成了语言上的便利，不比“等等”或“即”

    更有内容。克罗耐克研究数学的哲理，说：“上帝造了整数，数学家们造了其余的数学装置”。他这话的意思是说，每个整数必须有一个独立的存在，但是别类的数就不必这样。有了前面的关于数的定义，整数的这个特权就消失了。数学家的根本的器具就化为?或、不、一切、一些等这样一些纯粹是逻辑上的名辞