第十二章 数学中的民主
都按他们所实际喜爱的投票,那么他们最后会选定伯格王(第二名则是温迪)。
因为伯格王是克拉拉的最后选择,她会很不高兴。如果克拉拉在第一次投票不选择她真正喜爱的温迪,而改而投选她的第二选择麦克唐纳,那么她就能确保麦克唐纳在第一次和第二次中都能赢得表决。克拉拉由于开头违背了她自己的意愿而最终实现了所喜爱的结果,这就是悖论。
况且,即便罗纳德和赫布识破克拉拉的策略,他们也不能有效地加以干扰。赫布很生气,这是由于克拉拉巧妙的投票才使他的第三意愿餐馆成为获胜者。反之,克拉拉这一方的“诚实”投票就会使赫布的第一意愿成为获胜者。赫布试图说服罗纳德,让罗纳德和他一起合谋进行某种不诚实的投票。但罗纳德不愿意参与,因为这样做也不可能改变他自己的处境。克拉拉的投票已使罗纳德的第一选择的餐馆成为获胜者。
表决顺序的改变也不能消除巧妙投票的可能性。它所能做的是给别人而不是克拉拉不诚实投票的机会。假定这3位朋友首先在伯格王和温迪之间进行表决,再对获胜者与麦克唐纳进行表决,如果他们全都“诚实地”投票,那么最终会选择麦克唐纳,使赫布大失所望。
如果赫布足够机敏,能预见到这个结果,那么他应在第一次投巧妙的一票,以促使他们最终转向选择温迪。
其他可能的表决顺序——即首先在麦克唐纳和伯格王之间表决,而后在获胜者与温迪之间表决——情况也并不好些。
它只会给罗纳德以进行机敏投票的机会:虽然这3位将要就餐者遇到的窘境是虚构的,但它却不是编造出来的。在一系列的投票中,是从3个或者更多候选者中选出一个获胜者,巧妙投票的可能性可以在任何多数规则的表决中出现。
当美国众议院提出一项议案修正案时就会发生这样的情况。首先众议院要就修正案投票表决,如果获得通过,那么就应在修正案和完全否定议案之间进行第二次和最后表决。如果修正案未获通过,则第二次表决是在原议案和否定议案之间进行。
美国罗彻斯特大学的威廉·赖克在其《政治科学中的数学应用》一书中分析了1956年众议院关于要求联邦政府资助学校建设议案的表决情况。当时提出了修正案,要求联邦政府只向那些已经取消种族隔离学校的州进行资助。众议院实质上已分成三个利益集团:共和党人、北方民主党人和南方民主党人。反对联邦资助,但
赞成取消种族隔离的共和党人完全赞成否定议案,但相比之下,宁愿要修正案而不愿要原议案。而北方民主党人赞成修正案,但宁愿要原议案而不愿要否定议案。南方民主党人都是来自实行种族隔离学校的各州,他们赞成原议案,但宁愿要否定议案而不愿要修正案。
对于修正案的表决,共和党人和北方民主党人一起投票,赢得了表决。但是在第二次表决,即在修正案和不否定议案之间表决时,共和党人与南方民主党人联合,否决了修正案。在这里,这种悖论表现为:在没有修正案的情况下,要在原议案和否定议案之间进行直接表决,则原议案无疑会赢得胜利!
赖克得出结论:“选择可能取决于表决顺序这种看法似乎还是不够的,这一事实可以用来扭曲立法程序的结果。它有可能会产生一种表决上的悖论,即使议案在悖论产生之前就已获得通过,也会使立法机构无法采取行动。立法议员可以提出修正案,使这种悖论得以产生,而且如果表决程序恰好正确的话,那么修正议案将会被否决。”
早在18世纪,法国数学家让-安托万-尼古拉斯·卡里塔特,德·孔多塞侯爵就看出了表决的悖论。他发现社会上往往有优先选择,但是如果是个人的优先选择,就被认为不合理而不加以考虑。现在回过头来考虑我们3位饥饿