的条件下存在着几个沿轨道运行的质点，它们彼此没有相互作用——或者（结果相同）如果把任一给定质点的运动与其在距中心的某一不同距离上的运动相比较——那么，开普勒第三定律或和谐定律就可成立。顺便提一句，我们也许注意到，牛顿在这里首次指明了开普勒第三条定律中每一条的动力学意义。牛顿的活动在很大程度上构成了纯数学的第一个阶段。

    在第二个阶段，牛顿把他的精神构造物与实在的世界进行了比较。当然他立刻发现，在实在的世界中（例如，在我们的太阳系中），沿轨道运行的物体，并不是围绕着quot;数学的quot;力心运动，而是围绕着别的实在物体运动。月球围绕着地球运动而地球和其他行星围绕着太阳运动。此外，为了使其精神构造物或想象系统能与实在的世界更为谐调一致，牛顿改进了这一系统，使其质点数增加到两个。其中一个质点位于中心，并且吸引着另一个在轨道上运动的质点，它不断地把后者从其所在的另一条直线惯性运动的轨道上拉开。但是，按照任一作用都有一个大小相等方向相反的反作用这一原理（牛顿第三运动定律），就会得出这样的推论：如果位于中心的物体吸引着沿轨道运行的物体，那么，在轨道上运行的物体也必定吸引着位于中心的物体。这样，这种精神构造物扩展到有两个相互作用的物体的系统了。牛顿继续指出，在这类条件下，情况不再是在轨道上运行的物体沿着一个纯椭圆形的轨道围绕位于焦点的中心物体运动了。相反，他发现，这二者都是沿椭圆形轨道围绕着它们共同的引力中心运动。

    这种双物体系统构成了一个得到了改进的阶段，在此阶段，牛顿又一次用数学方法阐述了他的（现已修正了的）精神构造物。他随后把这个改进了的系统与外在的世界进行了比较，这就是改进了的第二阶段。当然，他发现，这个系统还是与我们周围的实在世界不相符的。例如，在我们的太阳系中，围绕太阳运动的行星并非只有一个，而是有好几个。这样，为了使他的精神构造物更进一步符合外在的世界系统，牛顿又继续开始了另一个阶段的工作。他在系统中引入了不止一个而是两个或更多的质点，它们在围绕中心质点的轨道上运行。这样，运用牛顿的第三定律，又一次得出以下推论：沿轨道运行的每一个质点，既受到中心物体的吸引，也对它有着吸引作用。换句话说结论就是，沿轨道运行的每一个质点，既是一个可被吸引的物体，也是一个具有吸引力的中心。在这些沿轨道运行的物体中，任何一个物体都会对其他的每一个发生作用，同时也会受到它们各自作用的影响。这个系统包含了这样一些物体：它们彼此以摄动的方式相互作用，这些摄动导致了与开普勒定律的一种细微的偏离。于是，牛顿继续努力，以图在我们的太阳系中找出与开普勒定律相差的数量测度。

    在数学结构和对实在世界的比拟之间、以及第一阶段和第二阶段之间的这种对位式的变换中，牛顿不仅从单一物体系统发展到了多物体系统，而且发展到了沿轨道运行且带有卫星的多物体系统，例如，地球的卫星是月球，土星和木星也都有各自的卫星。到此为止他一直讨论的都是质点，而不是有形的物体，因为他还没有开始考虑大小和形状，不过最终，他把讨论的层次从质点转到了具有一定尺寸和外形的物理实体之上。

    我所描述的过程，并非只是20世纪人们（对牛顿在《原理》中提出问题的方式）的一种事后分析。它与有文献为证的牛顿思想的各个发展阶段是相符的。1684年秋，牛顿写了一本小册子（《论运动》），在其中，他介绍了他研究开普勒定律以及有关这个问题其他方面的一些成果。他在书中指出，向心力是面积定律成立的必要充分条件，椭圆形轨道则暗示着，这种力与距离的平方成反比，这与他后来在《原理》中所作的阐述十分相似。但是