这样（因为，两个连续的位移仍旧是一个位移；因为一个位移能够被逆向的位移或“返回”所抵消，等等）。然而位移群的结合律性质相当于“迂回”的行为，在这一点上，对于空间的一致性来说是基本的。因为，如果到达点因所经途径不同而时常在改变的话，那就会没有空间可言，而只有可与赫拉克利特所谈过的那条江相比拟的永恒流水了。

    其次，群是转换作用的基本工具，而且还是合理的转换作用的基本工具。这种转换作用不是一下子同时改变一切，而是每一次转换都与一个不变量联系起来。这样，一个固体在习常空间里位移，就让它的大小保持不变；一个整体被分成为许多部分，就让总和保持不变，等等。只要有了群结构，就完全可以揭露梅耶森（E. Meyerson）用来建立他的科学认识论的那个反命题的人为性质了；按照他的反命题，一切变化都是非理性的，只有同一性才是理性的特点。

    群作为转换作用与守恒作用不可分割的结合，是构造论的无与伦比的工具。这不仅由于群是一个转换的体系，而且还因为，并且主要因为，通过一个群分化成它的子群，以及有可能通过这些子群之一过渡到另一些子群，这些转换在某种程度上是可以加以配方的。就是因为这样，除了被位移图形的大小之外（因此是距离），位移群让它的角、平行线、直线等保持不变。于是人们能使大小改变而保持其余一切不变，就得到一个较普遍的群，而原位移群成了这个更普遍的群中的一个子群：这就是相似群，可以在不改变形状的情况下放大图象。接着，人们可以改变图象的各个角，但是保持它原来的平行线和直线等，这样就得到了一个更普遍的群，而上述相似群就成了它的一个子群, 这就是“仿射”几何群，例如，把一个菱形改变成另一个菱形，这个群就要发生作用。继续把平行线改变而保留直线，于是就得到一个“射影”群（透视等），先前那些图象所构成的群就成了它嵌套的子群了。最后，连这些直线也不保留，而在某种程度上把某些图象看作是有弹性的，唯一被保留下来的是图象上各个点之间一一对应的、或对应连续的对应关系，于是这就产生了最普遍的群，即拓扑学所特有的“同型拓扑”（ement），就可以使得从一个子结构向另一个子结构过渡成为可能（且不谈普通测量学；我们可以依靠拓扑学，从普通测量学中引出非欧几何或欧氏几何的特殊测量学，从而再回到位移群上来）。克莱因（F. Klein）在《埃尔兰根纲领》（Programme d’Erlangen）这部著名著作里所陈述的，就是这个从图形几何变成一整个转换体系的根本改变。这是由于群结构的运用而为我们取得了的可以称之为是结构主义的确实胜利的第一个实例。